Ο Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel), μαθηματικός, λογικός και φιλόσοφος, άλλαξε τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών με τα θεωρήματα μη πληρότητας που δημοσίευσε το 1931. Έδειξε ότι ένα συνεπές τυπικό αξιωματικό σύστημα, εφόσον πληροί ορισμένες τεχνικές προϋποθέσεις και μπορεί να εκφράσει την αριθμητική των φυσικών αριθμών, έχει προτάσεις που δεν μπορεί να αποδείξει ούτε να διαψεύσει. Επιπλέον, ένα τέτοιο σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει τη δική του συνέπεια. Τα αποτελέσματα αυτά προσδιόρισαν τα όρια ενός προγράμματος που επιδίωκε να θεμελιώσει την αριθμητική, και μέσω αυτής άλλα πεδία των μαθηματικών, σε ένα πλήρες και αποδεδειγμένα συνεπές σύνολο αξιωμάτων.
Γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο Μπρνο, τότε στην Αυστροουγγαρία, σε εύπορη γερμανόφωνη οικογένεια. Ο πατέρας του ήταν διευθυντής και συνιδιοκτήτης μεγάλης κλωστοϋφαντουργικής επιχείρησης, ενώ τα παιδιά ανατράφηκαν ως προτεστάντες. Η επίμονη περιέργειά του τού χάρισε στην οικογένεια το προσωνύμιο «κύριος Γιατί». Στο σχολείο διακρίθηκε στα μαθηματικά, τις γλώσσες και τα θρησκευτικά, ενώ στην εφηβεία μελετούσε ιστορία και φιλοσοφία. Μετά από ρευματικό πυρετό στην παιδική ηλικία ανάρρωσε, αλλά παρέμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε υποστεί μόνιμη βλάβη.
Το 1924, σε ηλικία 18 ετών, πήγε στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης, όπου αρχικά σκόπευε να σπουδάσει θεωρητική φυσική. Παρακολούθησε επίσης μαθηματικά και φιλοσοφία, συμμετείχε στον Κύκλο της Βιέννης και υιοθέτησε ιδέες μαθηματικού ρεαλισμού. Ένα σεμινάριο πάνω στο έργο του Μπέρτραντ Ράσελ (Bertrand Russell) τον έστρεψε στη μαθηματική λογική. Το 1929 ολοκλήρωσε, υπό την επίβλεψη του Χανς Χαν (Hans Hahn), τη διατριβή του με το θεώρημα πληρότητας της λογικής πρώτης τάξης: κάθε πρόταση που είναι αληθής σε όλα τα μοντέλα ενός συστήματος μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματά του. Έλαβε το διδακτορικό του το 1930.
Η πληρότητα της λογικής πρώτης τάξης και η μη πληρότητα της αριθμητικής αφορούν διαφορετικά ερωτήματα. Στην εργασία του 1931, ο Γκέντελ κατασκεύασε μια αριθμητική πρόταση η οποία εκφράζει ότι η ίδια δεν αποδεικνύεται μέσα στο συγκεκριμένο σύστημα. Για να το πετύχει, ανέπτυξε την αρίθμηση Γκέντελ, μια μέθοδο που αντιστοιχίζει φυσικούς αριθμούς σε τυπικές εκφράσεις και αποδείξεις. Έτσι μπορούσε να εκφράσει αριθμητικά ακόμη και την έννοια της αποδειξιμότητας. Υπό τις απαιτούμενες προϋποθέσεις, προκύπτουν αληθείς αριθμητικές προτάσεις που παραμένουν αναπόδεικτες μέσα στο σύστημα.
Η συμβολή του επεκτάθηκε στη θεωρία συνόλων, τη θεωρία αποδείξεων και την υπολογισιμότητα. Έδειξε ότι το αξίωμα της επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι συμβατά με τα αξιώματα Ζερμέλο–Φρένκελ, εφόσον αυτά είναι συνεπή. Για την απόδειξη εισήγαγε το κατασκευάσιμο σύμπαν, ένα μοντέλο στο οποίο τα σύνολα προκύπτουν από απλούστερα σύνολα. Αργότερα, τα αποτελέσματα του Πολ Κόεν (Paul Cohen), σε συνδυασμό με τα δικά του, καθιέρωσαν την ανεξαρτησία αυτών των προτάσεων από τα συγκεκριμένα αξιώματα. Ο Γκέντελ ανέπτυξε επίσης τη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και διερεύνησε τις σχέσεις ανάμεσα στην κλασική, τη διαισθητική και την τροπική λογική.
Το 1929 γνώρισε την Αντέλε Νίμπουρσκι (Adele Nimbursky), με την οποία παντρεύτηκε τον Σεπτέμβριο του 1938, παρά την αντίθεση των γονιών του. Η Αντέλε υπήρξε σημαντικό στήριγμα καθώς οι ψυχικές δυσκολίες του επηρέαζαν την καθημερινότητά τους. Το 1936, η δολοφονία του Μόριτς Σλικ (Moritz Schlick), του οποίου το σεμινάριο είχε ενισχύσει το ενδιαφέρον του για τη λογική, προκάλεσε σοβαρή κρίση. Ο Γκέντελ εμφάνισε παρανοϊκά συμπτώματα, μεταξύ τους φόβο δηλητηρίασης, και νοσηλεύτηκε για αρκετούς μήνες.
Μετά την προσάρτηση της Αυστρίας στη ναζιστική Γερμανία το 1938, η πανεπιστημιακή του θέση καταργήθηκε και η αίτηση του για νέα θέση απορρίφθηκε. Οι προηγούμενες σχέσεις του με ΕΒΡΑΊΟΥΣ συναδέλφους βάρυναν εις βάρος του, ενώ ο γερμανικός στρατός τον έκρινε κατάλληλο για επιστράτευση. Στα τέλη του 1939 έφυγε με την Αντέλε από τη Βιέννη, ταξιδεύοντας μέσω Σιβηρίας και Ιαπωνίας προς τις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου έφτασαν τον Μάρτιο του 1940. Εγκαταστάθηκε στο Πρίνστον και εργάστηκε στο Institute for Advanced Study, όπου έγινε μόνιμο μέλος το 1946 και καθηγητής το 1953. Απέκτησε αμερικανική υπηκοότητα το 1948.
Στο Πρίνστον ανέπτυξε στενή φιλία με τον Άλμπερτ Αϊνστάιν (Albert Einstein), με τον οποίο συνήθιζε να κάνει μεγάλους περιπάτους. Τα ενδιαφέροντά του στράφηκαν περισσότερο στη φυσική και τη φιλοσοφία. Το 1949 βρήκε λύσεις των εξισώσεων της γενικής σχετικότητας που περιλαμβάνουν κλειστές χρονοειδείς καμπύλες, επιτρέποντας μαθηματικά την επιστροφή στο παρελθόν στα συγκεκριμένα μοντέλα. Αυτά τα «περιστρεφόμενα σύμπαντα» έγιναν γνωστά μέσω της μετρικής Γκέντελ. Για το έργο του τιμήθηκε με το Albert Einstein Award το 1951 και το National Medal of Science το 1974.
Ο Γκέντελ μελέτησε ιδιαίτερα τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς (Gottfried Leibniz), αλλά και άλλους φιλοσόφους. Πίστευε σε έναν προσωπικό Θεό και σε μεταθανάτια ζωή, πεποιθήσεις τις οποίες συνέδεε με τη δική του αντίληψη για την ορθολογική συγκρότηση του κόσμου. Στις αρχές της δεκαετίας του 1970 κυκλοφόρησε μεταξύ φίλων μια επεξεργασία του οντολογικού επιχειρήματος για την ύπαρξη του Θεού, γνωστή ως οντολογική απόδειξη Γκέντελ. Πρόκειται για φιλοσοφικό επιχείρημα βασισμένο σε παραδοχές, όχι για εμπειρική επιβεβαίωση των θρησκευτικών του πεποιθήσεων.
Στα τελευταία χρόνια της ζωής του, ο φόβος δηλητηρίασης τον οδήγησε να τρώει μόνο φαγητό που ετοίμαζε η Αντέλε. Όταν εκείνη νοσηλεύτηκε έπειτα από εγκεφαλικό στα τέλη του 1977, αρνήθηκε να φάει και πέθανε από υποσιτισμό στις 14 Ιανουαρίου 1978. Μετά τον θάνατο της Αντέλε το 1981, τα αρχεία του δωρίστηκαν στο Institute for Advanced Study. Η κληρονομιά του συνεχίζεται μέσα από τη μελέτη της λογικής, τις εκδόσεις των εργασιών και των φιλοσοφικών σημειωματάριων του και το Γκέντελ Prize στη θεωρητική πληροφορική. Το έργο του παραμένει σημείο αναφοράς για τη διάκριση ανάμεσα στη μαθηματική αλήθεια και σε όσα μπορούν να αποδειχθούν μέσα σε ένα συγκεκριμένο σύστημα.
Σχόλια