Το «Fermat's Last Theorem» (στις ΗΠΑ κυκλοφόρησε ως «Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem») είναι ένα εκλαϊκευτικό βιβλίο επιστήμης του Σάιμον Σινγκ (Simon Singh), που εκδόθηκε το 1997. Αφηγείται την ιστορία της αναζήτησης της απόδειξης του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, το οποίο διατύπωσε ο Πιέρ ντε Φερμά (Pierre de Fermat) το 1637, και παρακολουθεί τις προσπάθειες πολλών μαθηματικών — μεταξύ τους και του Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois) — που απέτυχαν να το αποδείξουν. Το βιβλίο έγινε το πρώτο βιβλίο μαθηματικών που έφτασε στο νούμερο ένα των πωλήσεων στο Ηνωμένο Βασίλειο, ενώ το ντοκιμαντέρ του Σινγκ «The Proof», στο οποίο βασίστηκε, κέρδισε βραβείο BAFTA το 1997.
Το θεώρημα είναι διαβόητο επειδή διατυπώνεται πολύ απλά: η εξίσωση x^n + y^n = z^n δεν έχει λύσεις με θετικούς ακέραιους αριθμούς x, y, z για κανέναν ακέραιο εκθέτη n μεγαλύτερο του 2. Πρόκειται για μια παραλλαγή της πυθαγόρειας εξίσωσης, αλλά ενώ η πυθαγόρεια έχει άπειρες ακέραιες λύσεις, ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι για μεγαλύτερους εκθέτες δεν υπάρχει καμία. Η φήμη του θεωρήματος οφείλεται και σε μια σημείωση που άφησε ο ίδιος ο Φερμά στο περιθώριο ενός βιβλίου: «Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη αυτής της πρότασης, την οποία όμως το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να χωρέσει».
Επί 350 χρόνια μετά τη διατύπωσή του, το θεώρημα παρέμενε αναπόδεικτο στη γενική του μορφή, παρόλο που είχαν βρεθεί αποδείξεις για πολλές συγκεκριμένες τιμές του n — πρώτα με το χέρι και αργότερα με υπολογιστή, μέχρι τιμές γύρω στα τέσσερα εκατομμύρια. Η αναζήτηση μιας γενικής απόδειξης ώθησε την ανάπτυξη ολόκληρων νέων περιοχών της θεωρίας αριθμών. Το βιβλίο του Σινγκ αφηγείται αυτή την ιστορία μέσα από τις προσωπικότητες των μαθηματικών που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα, τις μερικές επιτυχίες και τις διάσημες αποτυχίες τους.
Ο ήρωας της ιστορίας είναι ο Άντριου Γουάιλς (Andrew Wiles), καθηγητής μαθηματικών στο Πρίνστον, ο οποίος είχε εμμονή με το θεώρημα από την ηλικία των δέκα ετών και πέρασε όλη του τη ζωή θέλοντας να το λύσει. Όταν το 1986 ο Κεν Ρίμπετ (Ken Ribet) απέδειξε τη σύνδεση μεταξύ του θεωρήματος του Φερμά και της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα, ο Γουάιλς άρχισε να εργάζεται μυστικά πάνω στην απόδειξη. Ο Ρίμπετ σχολίασε αργότερα ότι ο Γουάιλς ήταν «πιθανώς ένας από τους λίγους ανθρώπους στη γη που είχαν το θράσος να ονειρευτούν ότι μπορείς πραγματικά να πας και να το αποδείξεις».
Στις 21–23 Ιουνίου 1993, ο Γουάιλς ανακοίνωσε την απόδειξή του σε τρεις διαλέξεις στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Άιζακ Νιούτον στο Κέμπριτζ. Ωστόσο, τον Σεπτέμβριο του ίδιου έτους, κατά τον έλεγχο του χειρογράφου από τον μαθηματικό Νικ Κατς (Nick Katz), εντοπίστηκε ένα λάθος σε ένα κρίσιμο σημείο της απόδειξης: το σύστημα Όιλερ που χρησιμοποιήθηκε για να επεκτείνει τη μέθοδο των Κολιβάγκιν και Φλαχ ήταν ελλιπές. Χωρίς αυτό το μέρος, δεν υπήρχε πραγματική απόδειξη του θεωρήματος. Ο Γουάιλς πέρασε σχεδόν έναν χρόνο προσπαθώντας να επιδιορθώσει την απόδειξή του, αρχικά μόνος και στη συνέχεια με τον πρώην φοιτητή του Ρίτσαρντ Τέιλορ (Richard Taylor), χωρίς επιτυχία.
Η λύση ήρθε το πρωί της 19ης Σεπτεμβρίου 1994. Ο Γουάιλς ήταν στα πρόθυρα να εγκαταλείψει όταν είχε μια ιδέα που του επέτρεψε να διορθώσει την απόδειξη. Ο ίδιος περιέγραψε τη στιγμή ως «την πιο σημαντική της εργασιακής μου ζωής».
Η διορθωμένη απόδειξη δημοσιεύτηκε το 1995 στο περιοδικό Annals of Mathematics, σε δύο άρθρα συνολικής έκτασης 129 σελίδων — το ένα του Γουάιλς και το άλλο σε συνεργασία με τον Ρίτσαρντ Τέιλορ. Η έρευνα είχε καταναλώσει πάνω από επτά χρόνια δουλειάς του Γουάιλς. Η απόδειξη χρησιμοποιεί τεχνικές από την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών, και βασίζεται σε μαθηματικά εργαλεία του 20ού αιώνα που δεν ήταν διαθέσιμα στον Φερμά — γεγονός που καθιστά σχεδόν βέβαιο ότι ο Φερμά, αν πράγματι είχε αποδείξει το θεώρημα, ακολούθησε διαφορετικό δρόμο, κάτι που πιθανώς δεν θα μάθουμε ποτέ.
Η απόδειξη του Γουάιλς αφορούσε μια ειδική περίπτωση της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα, η οποία συνδέει δύο φαινομενικά άσχετους κλάδους των μαθηματικών: τις ελλειπτικές καμπύλες και τις modular μορφές. Η εικασία αυτή αποτελεί μέρος του προγράμματος Λάνγκλαντς, μιας σειράς εικασιών για μια βαθιά ενότητα μεταξύ απομακρυσμένων κλάδων των μαθηματικών που, αν αποδειχθούν, θα επέτρεπαν σε τεχνικές από τον έναν κλάδο να χρησιμοποιηθούν για προβλήματα ενός άλλου. Ο Τζον Κόνγουεϊ (John Conway) αποκάλεσε το αποτέλεσμα «την απόδειξη του [20ού] αιώνα», ενώ για το έργο του αυτό ο Γουάιλς χρίστηκε ιππότης και έλαβε, μεταξύ άλλων τιμών, το βραβείο Άμπελ το 2016.
Το βιβλίο έχει δεχτεί και κριτική. Ο κριτικός του eyrie.org σημειώνει ότι ο Σινγκ, προσπαθώντας να κρατήσει το ενδιαφέρον ενός κοινού χωρίς μαθηματικό υπόβαθρο, καταφεύγει κάποιες φορές σε υπερβολικό δράμα και επαναλήψεις — για παράδειγμα, χρησιμοποιεί την αναλογία με τα ντόμινο για να εξηγήσει την επαγωγική απόδειξη μέχρι εξαντλήσεως. Ο ίδιος θα ήθελε περισσότερη μαθηματική λεπτομέρεια για τη σημασία της απόδειξης στα σύγχρονα μαθηματικά. Παρ' όλα αυτά, το βιβλίο θεωρείται αξιόλογο για την προσβασιμότητά του και ιδιαίτερα για το τελευταίο του μέρος, που αφηγείται με συναρπαστικό τρόπο την ιστορία της απόδειξης του Γουάιλς.
Το βιβλίο του Σινγκ παραμένει μια από τις πιο προσιτές εισαγωγές σε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα των σύγχρονων μαθηματικών. Όπως σημειώνουν αναγνώστες, καταφέρνει να κάνει ακόμη και τα πιο στεγνά και πολύπλοκα μαθηματικά θέματα να ζωντανεύουν, συνδέοντας την ιστορία μιας απόδειξης με την ανθρώπινη επιμονή, την εμμονή και τη χαρά της ανακάλυψης.
Σχόλια