Ο Τζόελ Ντέιβιντ Χάμκινς είναι μαθηματικός και φιλόσοφος, με ειδίκευση στη θεωρία συνόλων, τα θεμέλια των μαθηματικών και τη φύση του απείρου. Κατέχει την πρώτη θέση σε βαθμολογία στο MathOverflow, την πλατφόρμα ερωταπαντήσεων για ερευνητές μαθηματικούς, με πάνω από 246.000 πόντους, και διατηρεί το ιστολόγιο infinitelymore.xyz.
Στη συζήτησή του με τον Λεξ Φρίντμαν (Lex Fridman), αφηγείται την ιστορία του απείρου από τον Αριστοτέλη και τον Γαλιλαίο μέχρι τον Κάντορ, τον Γκέντελ και τον Κοέν, και παρουσιάζει μερικές από τις πιο βαθιές ιδέες των σύγχρονων μαθηματικών.
Η κεντρική ιδέα του Κάντορ, ότι μερικά άπειρα είναι μεγαλύτερα από άλλα, προκάλεσε σεισμό στα μαθηματικά στα τέλη του 19ου αιώνα. Όπως εξηγεί ο Χάμκινς, δημιούργησε θεολογική κρίση —αφού το άπειρο συνδεόταν με τον Θεό—, μαθηματικό εμφύλιο πόλεμο με τον Κρόνεκερ, και ψυχολογική κατάρρευση για τον ίδιο τον Κάντορ, που πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του σε σανατόρια.
Ο Γαλιλαίος είχε ήδη παρατηρήσει το παράδοξο ότι τα τετράγωνα των αριθμών μπορούν να αντιστοιχιστούν ένα προς ένα με όλους τους αριθμούς, παρότι υπάρχουν κενά μεταξύ τους, και είχε μείνει με την απορία.
Η σύγχρονη προσέγγιση βασίζεται στην αρχή Κάντορ-Χιουμ: δύο συλλογές έχουν το ίδιο μέγεθος αν και μόνο αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι ευθύγραμμα τμήματα διαφορετικού μήκους έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων, και ότι δύο κύκλοι, όσο διαφορετικοί και να είναι, έχουν ακριβώς τα ίδια σημεία. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την αρχή του Ευκλείδη ότι το όλον είναι πάντα μεγαλύτερο από το μέρος, και η ένταση αυτή λύθηκε πλήρως μόνο με τον Κάντορ.
Ο Χάμκινς χρησιμοποιεί το παράδειγμα του Ξενοδοχείου του Χίλμπερτ για να εξηγήσει την αριθμήσιμη απειρία. Ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια μπορεί να είναι γεμάτο και όμως να δεχτεί νέους πελάτες, μετακινώντας τους υπάρχοντες κατά ένα δωμάτιο. Ακόμη πιο εντυπωσιακό, μπορεί να δεχτεί το λεωφορείο του Χίλμπερτ με άπειρες θέσεις, ή ακόμη και το τρένο του Χίλμπερτ με άπειρα βαγόνια που το καθένα έχει άπειρες θέσεις — όλα αυτά χωρίς να μεγαλώσει το άπειρο. Η τεχνική αυτή δείχνει ότι η ένωση αριθμήσιμα πολλών αριθμήσιμων συνόλων παραμένει αριθμήσιμη.
Οι ρητοί αριθμοί, παρότι είναι πυκνά διατεταγμένοι —ανάμεσα σε δύο οποιουσδήποτε ρητούς υπάρχει άλλος ρητός—, είναι επίσης μόνο αριθμήσιμα άπειροι. Η απόδειξη είναι απλή: κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο ακεραίους, τον αριθμητή και τον παρονομαστή, και η ίδια τεχνική με τους πρώτους αριθμούς (3 στη δύναμη του αριθμητή επί 5 στη δύναμη του παρονομαστή) δίνει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τους φυσικούς.
Όμως ο Κάντορ απέδειξε ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμοι, με το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα: δεδομένης οποιασδήποτε λίστας πραγματικών, μπορείς να κατασκευάσεις έναν αριθμό Ζ του οποίου το ν-οστό δεκαδικό ψηφίο διαφέρει από το ν-οστό ψηφίο του ν-οστού αριθμού της λίστας, άρα ο Ζ δεν βρίσκεται στη λίστα. Αυτή η διαγώνια μέθοδος αποδείχθηκε εξαιρετικά γόνιμη και οδήγησε σε πολλά μεταγενέστερα αποτελέσματα, από το παράδοξο του Ράσελ μέχρι το πρόβλημα της διακοπής.
Ο Χάμκινς ανθρωπομορφοποιεί το επιχείρημα: για οποιαδήποτε συλλογή ανθρώπων, μπορείς να σχηματίσεις περισσότερες επιτροπές από ό,τι υπάρχουν άνθρωποι, ακόμα κι αν υπάρχουν άπειροι άνθρωποι. Αν δεν ίσχυε, θα μπορούσες να ονομάσεις κάθε επιτροπή με το όνομα ενός ανθρώπου, και τότε σχηματίζεις την επιτροπή Δ με όλους όσοι δεν ανήκουν στην επιτροπή που φέρει το όνομά τους — οδηγώντας σε αντίφαση όταν ρωτάς αν η Ντανιέλα ανήκει στην επιτροπή που φέρει το όνομά της.
Το ίδιο λογικό σχήμα κρύβεται πίσω από το παράδοξο του Ράσελ, το οποίο ο Χάμκινς προτιμά να αποκαλεί θεώρημα του Ράσελ: δεν υπάρχει σύνολο όλων των συνόλων.
Η ιστορία είναι δραματική: ο Φρέγκε είχε σχεδόν ολοκληρώσει το μνημειώδες έργο του για την αναγωγή όλων των μαθηματικών στη λογική, όταν ο Ράσελ του έγραψε ότι το σύστημά του ήταν αντιφατικό. Ο Φρέγκε έπρεπε να προσθέσει παράρτημα στο έργο του όπου έγραφε ότι «δύσκολα κάτι πιο ανεπιθύμητο μπορεί να συμβεί σε έναν επιστημονικό συγγραφέα από το να κλονιστούν τα θεμέλια του οικοδομήματος του όταν το έργο έχει ολοκληρωθεί».
Η θεωρία συνόλων προέκυψε ως θεμέλιο των μαθηματικών μέσα από αυτή την κρίση. Το αξιωματικό σύστημα ZFC (Ζερμέλο-Φράνκελ με το αξίωμα της επιλογής) διατυπώθηκε από τον Ζερμέλο το 1908 ως απάντηση στις αμφισβητήσεις για την απόδειξή του. Το αξίωμα της επιλογής λέει ότι για κάθε συλλογή μη κενών συνόλων μπορείς να επιλέξεις ακριβώς ένα στοιχείο από καθένα. Ο Χάμκινς το ανθρωπομορφοποιεί με την ιστορία του Ράσελ για έναν πλούσιο με άπειρα ζευγάρια παπούτσια και κάλτσες: για τα παπούτσια μπορείς πάντα να επιλέξεις το αριστερό, αλλά για τις κάλτσες, που είναι αδιάκριτες μεταξύ τους, δεν υπάρχει κανόνας επιλογής.
Το πρόγραμμα του Χίλμπερτ αποσκοπούσε στην απόδειξη ότι τα μαθηματικά είναι συνεπή και πλήρη. Όμως τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ το κατέστρεψαν αποφασιστικά: καμία υπολογίσιμα αξιωματικοποιήσιμη θεωρία που περιλαμβάνει στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να αποδείξει όλες τις αληθείς προτάσεις, ούτε μπορεί να αποδείξει την ίδια της τη συνέπεια. Όπως το θέτει ο Χάμκινς, αν ο Χίλμπερτ είχε δίκιο, τα μαθηματικά θα ήταν απλώς μια μηχανική διαδικασία απαρίθμησης θεωρημάτων — κάτι που τελικά δεν ισχύει.
Ο Χάμκινς θεωρεί τη διάκριση μεταξύ αλήθειας και αποδείξεως ως την πιο όμορφη ιδέα της φιλοσοφίας. Η αλήθεια αφορά το τι πραγματικά ισχύει στη μαθηματική πραγματικότητα, ενώ η απόδειξη αφορά τον τρόπο με τον οποίο εμείς αλληλεπιδρούμε με αυτήν και αποκτούμε γνώση. Ο Τάρσκι έδωσε τον ορισμό της αλήθειας μέσω της θεωρίας της απο-εισαγωγικής αλήθειας (disquotational theory): η πρόταση «το χιόνι είναι λευκό» είναι αληθής αν και μόνο αν το χιόνι είναι λευκό. Αυτό επέτρεψε τον μαθηματικό ορισμό της αλήθειας σε μια δομή.
Το πρόβλημα της διακοπής (halting problem) δείχνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει υπολογιστική διαδικασία που να αποφασίζει για κάθε πρόγραμμα αν θα τερματίσει ή όχι. Η απόδειξη είναι άλλη μία διαγώνια: υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοια διαδικασία, κατασκευάζουμε ένα πρόγραμμα Q που συμπεριφέρεται αντίθετα από κάθε πρόγραμμα P όταν το P εφαρμόζεται στον εαυτό του, και οδηγούμαστε σε αντίφαση όταν ρωτάμε τι κάνει το Q στο Q. Αυτό οδηγεί άμεσα στα θεωρήματα του Γκέντελ: αν υπήρχε πλήρης θεωρία των μαθηματικών, θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα της διακοπής αναμένοντας το θεώρημα-απαριθμητή να εκδώσει είτε «Ναι, τερματίζει» είτε «Όχι, δεν τερματίζει».
Όμως ο Χάμκινς και οι συνεργάτες του απέδειξαν ότι το πρόβλημα της διακοπής έχει «μαύρη τρύπα»: μπορείς να αποφασίσεις σωστά σχεδόν κάθε περίπτωσή του, με αναλογία που συγκλίνει στο 100% καθώς ο αριθμός των καταστάσεων μεγαλώνει. Ο λόγος είναι σχεδόν ανόητα απλός: σε μια μηχανή Τούρινγκ, αν η κεφαλή κινηθεί αριστερά στο αριστερό άκρο της ταινίας, «πέφτει» και ο υπολογισμός σταματά. Σχεδόν κάθε τυχαίο πρόγραμμα οδηγεί σε αυτή τη συμπεριφορά πριν επαναλάβει κατάσταση, οπότε μπορείς να απαντήσεις «δεν τερματίζει» σχεδόν πάντα.
Η υπόθεση του συνεχούς, το πρώτο πρόβλημα του Χίλμπερτ, ρωτά αν υπάρχει άπειρο ενδιάμεσο μεταξύ των φυσικών και των πραγματικών αριθμών. Ο Κάντορ αφιέρωσε τη ζωή του σε αυτήν χωρίς επιτυχία. Το 1938 ο Γκέντελ απέδειξε ότι η υπόθεση του συνεχούς είναι συμβατή με τα ZFC, κατασκευάζοντας το κατασκευάσιμο σύμπαν L, και το 1963 ο Πολ Κοέν εφηύρε τη μέθοδο της επιβολής (forcing) και απέδειξε ότι είναι επίσης συμβατή με την άρνησή της. Άρα η υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητη από τα ZFC.
Ο Χάμκινς αντλεί από αυτό μια πιο ριζοσπαστική φιλοσοφική θέση: τη θεώρηση του πολυσύμπαντος της θεωρίας συνόλων. Αντί να πιστεύουμε ότι υπάρχει ένα μοναδικό σύμπαν συνόλων με μία αλήθεια, υποστηρίζει ότι υπάρχουν πολλά εναλλακτικά σύμπαντα με διαφορετικές αλήθειες, και ότι η υπόθεση του συνεχούς μπορεί να «ανάψει» ή να «σβήσει» σαν διακόπτης ανάλογα με το σύμπαν στο οποίο βρίσκεσαι. Η μέθοδος της επιβολής είναι σαν να ταξιδεύεις από ένα σύμπαν σε ένα μεγαλύτερο, και η «γεωλογία της θεωρίας συνόλων» που ανέπτυξε με τους συνεργάτες του εξετάζει αν μπορείς να κινηθείς και προς τα πίσω.
Ο Χάμκινς μίλησε επίσης για τους σουρεαλιστικούς αριθμούς του Τζον Κόνγουεϊ, ένα σύστημα που ενοποιεί όλα τα αριθμητικά συστήματα — φυσικούς, ακέραιους, ρητούς, πραγματικούς, διατακτικούς και απειροστά. Γεννιούνται από μία μόνο διαδικασία: σε κάθε στάδιο, χωρίζεις τους υπαρκτούς αριθμούς σε δεξιό και αριστερό σύνολο, και δημιουργείς τον αριθμό που ταιριάζει στο κενό μεταξύ τους. Την πρώτη μέρα γεννιέται το μηδέν, και η διαδικασία συνεχίζεται υπερπεπερασμένα, μέχρι την «ημέρα ωμέγα» όπου γεννιούνται όλοι οι πραγματικοί αριθμοί αλλά και το ίδιο το ωμέγα και τα απειροστά.
Όσον αφορά την τεχνητή νοημοσύνη, ο Χάμκινς δηλώνει σκεπτικός για τη χρήση των μεγάλων γλωσσικών μοντέλων στη μαθηματική έρευνα: βρίσκει ότι παράγουν επιχειρήματα που μοιάζουν με αποδείξεις αλλά δεν είναι. Όπως το θέτει, είναι σχεδιασμένα να παράγουν κάτι που μοιάζει με λογικά ορθό επιχείρημα, όχι ένα λογικά ορθό επιχείρημα. Αναγνωρίζει ωστόσο ότι άλλοι σημαντικοί μαθηματικοί βρίσκουν τα συστήματα αυτά χρήσιμα, και ότι η σύνδεσή τους με συστήματα επαλήθευσης όπως το Lean είναι διαφορετική υπόθεση.
Το στυλ εργασίας του ίδιου είναι κοινωνικό: έχει σχεδόν εκατό συνεργάτες, και πολλές εργασίες του προέκυψαν από συζητήσεις στο MathOverflow.
Για τον Χάμκινς, η πιο όμορφη ιδέα στα μαθηματικά είναι οι υπερπεπερασμένοι διατακτικοί αριθμοί: η ιδέα ότι μπορείς να συνεχίσεις να μετράς πέρα από το άπειρο — ωμέγα, ωμέγα συν ένα, ωμέγα συν ωμέγα, ωμέγα τετράγωνο, και ούτω καθεξής χωρίς τέλος.
Στη φιλοσοφία, δεν χρειάζεται να διαλέξει αν είναι μαθηματικός ή φιλόσοφος: η δουλειά του ενώνει και τα δύο πεδία, και θεωρεί ότι ζει εξ ολοκλήρου στο πλατωνικό βασίλειο. Όπως λέει, η φυσική πραγματικότητα είναι βαθιά μυστήρια, ενώ η μαθηματική ύπαρξη είναι κάτι για το οποίο έχουμε πολύ πιο ικανοποιητική κατανόηση.
Σχόλια