Ο Τέρενς Τάο (Terence Tao), ένας από τους πιο επιδραστικούς μαθηματικούς της εποχής μας, βραβευμένος με το Μετάλλιο Φιλντς, συζήτησε με τον Λεξ Φρίντμαν (Lex Fridman) για τα δυσκολότερα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών, τη σχέση των μαθηματικών με τη φυσική, και τον ρόλο που μπορεί να παίξει η τεχνητή νοημοσύνη στην έρευνα.
Η κουβέντα ξεκίνησε από το πρόβλημα Kakeya, έναν παλιό γρίφο για το πόσο μικρό χώρο χρειάζεται μια βελόνα για να στρίψει προς κάθε κατεύθυνση. Ο Τάο εξήγησε ότι το πρόβλημα αυτό, που φαίνεται απλό, συνδέεται βαθιά με τη συγκέντρωση κυμάτων και με ερωτήματα για τις ιδιάζουσες λύσεις εξισώσεων όπως η Navier-Stokes.
Η εξίσωση Navier-Stokes, που περιγράφει τη ροή ρευστών όπως το νερό, βρίσκεται ανάμεσα στα επτά προβλήματα της Χιλιετίας του Ινστιτούτου Clay, με έπαθλο ένα εκατομμύριο δολάρια. Το ερώτημα είναι αν μια ομαλή αρχική κατάσταση μπορεί να οδηγήσει σε «έκρηξη» (blowup), δηλαδή σε άπειρη ταχύτητα σε κάποιο σημείο σε πεπερασμένο χρόνο. Ο Τάο εξήγησε ότι στην πράξη το νερό δεν εκρήγνυται, αλλά ο μαθηματικός πρέπει να αποκλείσει ακόμα και τις εξαιρετικά απίθανες «συνωμοσίες» που θα συγκέντρωναν όλη την ενέργεια σε ένα σημείο. Περιέγραψε το πρόβλημα με την αναλογία του δαίμονα του Μάξγουελ: στατιστικά σχεδόν αδύνατες συμπεριφορές που όμως δεν μπορούμε να αποκλείσουμε πλήρως.
Για να καταλάβει γιατί οι αποδείξεις ομαλότητας αποτυγχάνουν, ο Τάο κατασκεύασε μια τροποποιημένη, «μέση» εκδοχή των εξισώσεων Navier-Stokes στην οποία κατάφερε να επιβάλει μια πεπερασμένου χρόνου έκρηξη. Όπως εξήγησε, αυτό λειτουργεί ως εμπόδιο: δείχνει ότι οποιαδήποτε απόδειξη ομαλότητας για την πραγματική εξίσωση πρέπει να χρησιμοποιεί κάποιο χαρακτηριστικό που η τεχνητή εκδοχή δεν διαθέτει. Η κατασκευή του είχε τη λογική ενός ηλεκτρονικού κυκλώματος, με «πύλες» που ανοιγοκλείνουν και καθυστερήσεις, εμπνευσμένη εν μέρει από τις γνώσεις της συζύγου του ως ηλεκτρολόγου μηχανικού. Αυτό τον οδήγησε σε μια τολμηρή ιδέα: αν το νερό μπορούσε να λειτουργήσει ως υπολογιστής, ίσως θα μπορούσε να κατασκευαστεί μια «υγρή μηχανή Τούρινγκ» που αναπαράγει τον εαυτό της σε όλο και μικρότερη κλίμακα, με αποτέλεσμα blowup.
Ο Τάο συνέδεσε την ιδέα αυτή με το παιχνίδι της Ζωής του Κόνγουεϊ, όπου απλοί τοπικοί κανόνες δημιουργούν πολύπλοκες δομές όπως ολισθητήρες (gliders) και αυτοαναπαραγόμενες μηχανές. Τόνισε όμως πως τέτοιες αναδυόμενες δομές εμφανίζονται μόνο με πολύ προσεκτικά σχεδιασμένες αρχικές συνθήκες, όχι από τυχαίες καταστάσεις. Εδώ βρίσκεται, όπως είπε, μια θεμελιώδης διάκριση των μαθηματικών ανάμεσα στη δομή και την τυχαιότητα, που διατρέχει πολλά πεδία.
Συζητώντας τη σχέση μαθηματικών και φυσικής, ο Τάο περιέγραψε την επιστήμη ως αλληλεπίδραση τριών επιπέδων: της πραγματικότητας, των παρατηρήσεων και των νοητικών μοντέλων. Τα μαθηματικά, είπε, είναι ασυνήθιστα γιατί ξεκινούν από υποθέσεις και ρωτούν τι συνέπειες απορρέουν, ενώ οι περισσότεροι κλάδοι ξεκινούν από επιθυμητά συμπεράσματα. Αναφέρθηκε στην «παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών» και στο φαινόμενο της καθολικότητας (universality), που εξηγεί γιατί πολύπλοκα συστήματα συμπιέζονται σε λίγες παραμέτρους, όπως το κεντρικό οριακό θεώρημα. Προειδοποίησε όμως ότι η καθολικότητα δεν είναι πάντα αξιόπιστη, φέρνοντας ως παράδειγμα την παγκόσμια χρηματοπιστωτική κρίση του 2008, όταν οι συστημικοί συσχετισμοί διέψευσαν τα μοντέλα Γκάους.
Ο Τάο μίλησε επίσης για την ομορφιά των μαθηματικών, περιγράφοντας την ταυτότητα του Όιλερ όχι απλώς ως γοητευτική σύμπτωση αλλά ως ενοποίηση της γεωμετρίας, της δυναμικής και των μιγαδικών αριθμών. Εξήγησε πώς η έννοια της ενέργειας, που αρχικά ήταν κρυμμένη πίσω από τους νόμους του Νεύτωνα, έγινε κεντρική με τη μηχανική του Χάμιλτον και επέτρεψε τη μεταφορά διαίσθησης από την κλασική στην κβαντική μηχανική. Για την ενοποίηση της γενικής σχετικότητας με την κβαντική μηχανική, δήλωσε αισιόδοξος, σημειώνοντας ότι η ιστορία της φυσικής είναι γεμάτη ενοποιήσεις, αν και το πρόβλημα είναι ότι οι δύο θεωρίες καλύπτουν σχεδόν όλες τις παρατηρήσεις, αφήνοντας ελάχιστα πειραματικά δεδομένα για να μας καθοδηγήσουν.
Ένα μεγάλο μέρος της συζήτησης αφορούσε τη γλώσσα τυπικής απόδειξης Lean. Ο Τάο εξήγησε ότι το Lean παράγει όχι μόνο αποτελέσματα αλλά και πιστοποιητικά ορθότητας, επιτρέποντας την επαλήθευση αποδείξεων με απόλυτη βεβαιότητα. Αν και η τυπικοποίηση απαιτεί σήμερα περίπου δεκαπλάσιο χρόνο από τη συγγραφή με χαρτί και μολύβι, προσφέρει πλεονεκτήματα: όταν μια σταθερά αλλάζει, ο μεταγλωττιστής εντοπίζει αμέσως ποια βήματα καταρρέουν, αντί να ελέγχεται όλη η απόδειξη γραμμή προς γραμμή. Επιπλέον, επιτρέπει συνεργασία σε ατομικό επίπεδο μεταξύ ανθρώπων που δεν έχουν συναντηθεί ποτέ, καθώς το ίδιο το σύστημα εγγυάται την εμπιστοσύνη.
Ο Τάο περιέγραψε το πρότζεκτ των Εξισωτικών Θεωριών, στο οποίο περίπου πενήντα συνεργάτες εξέτασαν 22 εκατομμύρια ζεύγη νόμων της αφηρημένης άλγεβρας για να διαπιστώσουν ποιοι νόμοι συνεπάγονται ποιους. Το πρότζεκτ, σχεδόν ολοκληρωμένο, θα ήταν αδύνατο χωρίς το Lean και δείχνει πώς μπορεί να κλιμακωθεί η πειραματική μαθηματική έρευνα με μαζική, αξιόπιστη συνεργασία.
Στο θέμα της συνεισφοράς, σημείωσε ότι οι στατιστικές του GitHub είναι χρήσιμες αλλά μπορούν να διαστρεβλωθούν από τον νόμο του Γκούντχαρτ, όταν μια μετρική αρχίζει να χρησιμοποιείται ως κίνητρο.
Για την τεχνητή νοημοσύνη, ο Τάο είπε ότι συστήματα όπως το AlphaProof της DeepMind πέτυχαν επιδόσεις επιπέδου αργυρού μεταλλίου στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, αλλά με πολύ περισσότερο χρόνο και υπολογιστικούς πόρους από τους ανθρώπους. Η δυσκολία αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των βημάτων, και τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα κάνουν λάθη που συχνά είναι δύσκολο να εντοπιστούν γιατί μοιάζουν επιφανειακά τέλεια. Αυτό που λείπει σήμερα από τα μοντέλα, είπε, είναι η «μαθηματική όσφρηση»: η ικανότητα να διαισθάνονται ποια προσέγγιση είναι βιώσιμη πριν επενδύσουν μήνες εργασίας.
Ο Τάο προέβλεψε ότι μέσα στη δεκαετία αυτή θα δούμε τεχνητή νοημοσύνη να διατυπώνει μια εικασία που συνδέει πεδία που οι άνθρωποι θεωρούσαν άσχετα. Ήδη, είπε, έχουν δημοσιευθεί μαθηματικά αποτελέσματα που δεν θα ήταν δυνατά χωρίς τη συνδρομή της τεχνητής νοημοσύνης, έστω και αν ο καταμερισμός της συμβολής είναι δύσκολος. Παρομοίασε τη σημερινή συνεργασία με την τεχνητή νοημοσύνη με το «να βόσκεις γάτες», αλλά πιστεύει πως κάποια στιγμή θα υπάρξει αλλαγή φάσης, όπως συνέβη με την υιοθέτηση του LaTeX από τους μαθηματικούς.
Η συζήτηση κάλυψε και μερικά από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα.
Για την εικασία των διδύμων πρώτων, ο Τάο εξήγησε ότι μπορεί κανείς να αφαιρέσει ένα μικρό ποσοστό πρώτων αριθμών ώστε να εξαφανιστούν όλα τα δίδυμα ζεύγη, γεγονός που σημαίνει ότι οποιαδήποτε απόδειξη πρέπει να χρησιμοποιήσει λεπτές, μη στατιστικές ιδιότητες. Αντίθετα, οι αριθμητικές πρόοδοι είναι εξαιρετικά ανθεκτικές, όπως έδειξε το θεώρημα Γκριν-Τάο. Για τα δίδυμα πρώτα, το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα είναι ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη που διαφέρουν το πολύ κατά 246, και ο Τάο περιέγραψε το λεγόμενο «φράγμα ισοτιμίας» ως βασικό εμπόδιο, αντίστοιχο του ορίου της ταχύτητας του φωτός.
Για την υπόθεση Ρίμαν, ο Τάο ήταν προσεκτικός: τη χαρακτήρισε ουσιαστικά εκτός εμβέλειας των σημερινών τεχνικών, λέγοντας ότι πιθανότατα απαιτεί μια απρόβλεπτη ανακάλυψη από άλλο πεδίο.
Για την εικασία Κόλατζ, εξήγησε ότι απέδειξε πως σχεδόν το 99% των αριθμών «πέφτουν» πολύ χαμηλότερα από το σημείο εκκίνησής τους, χρησιμοποιώντας πιθανοτικές μεθόδους, αλλά η πλήρης απόδειξη απαιτεί τον αποκλεισμό εξαιρετικών περιπτώσεων, κάτι πολύ δυσκολότερο. Τόνισε ότι η γενική κατηγορία τέτοιων προβλημάτων είναι τόσο πολύπλοκη που ο Κόνγουεϊ έδειξε πως μπορεί να κωδικοποιεί μηχανές Τούρινγκ.
Κλείνοντας, ο Τάο μίλησε για τον Γκριγκόρι Πέρελμαν, που έλυσε την εικασία του Πουανκαρέ και αρνήθηκε τα βραβεία, σημειώνοντας ότι πρόκειται για ακραία περίπτωση ακόμα και μεταξύ μαθηματικών. Περιέγραψε την απόδειξη του Πέρελμαν μέσω της ροής Ρίτσι και τη μετατροπή ενός υπερκρίσιμου προβλήματος σε κρίσιμο.
Ο ίδιος τόνισε ότι προτιμά να αλλάζει πρόβλημα όταν κολλάει, σε αντίθεση με τους «σκαντζόχοιρους» που επιμένουν επί χρόνια σε ένα μόνο πρόβλημα, και ότι η ψυχολογία παίζει μεγάλο ρόλο στην έρευνα: συχνά μια εσφαλμένη αρχική επιτυχία δίνει το κίνητρο να συνεχίσει κανείς μέχρι την πραγματική λύση.
Ο Τάο έκλεισε με μια αισιόδοξη νότα: η ανθρώπινη κοινότητα, όταν η υποδομή και η κουλτούρα της είναι υγιείς, μπορεί να γίνει πολύ πιο έξυπνη από τα άτομα που την απαρτίζουν. Αναφέρθηκε στη δημιουργικότητα των νέων γενεών και στο γεγονός ότι προβλήματα που κάποτε σκότωναν ανθρώπους, όπως η ναυσιπλοΐα, είναι σήμερα τετριμμένα. Για τους νέους που δυσκολεύονται με τα μαθηματικά, πρότεινε την αναζήτηση εναλλακτικών δρόμων, καθώς διαφορετικοί άνθρωποι χρησιμοποιούν διαφορετικά μέρη του εγκεφάλου τους για να σκέφτονται μαθηματικά, και υπογράμμισε ότι τα νέα εργαλεία μπορεί να ανοίξουν την έρευνα σε πολύ ευρύτερο κοινό.
Σχόλια